三角函数，公式多，变形复杂，运用较难。
下面我和同学们共详析。解法原创，很详细，保证学生看后如释重负。
例1：已知函数y=(sinx+cosx)平方+2(cosx)平方
①求它递减区间，
②求它的最大值和最小值。
由于浏览器显示不出右上角的平方、根号和分数，本文统一用汉字代替，请您见谅，但原创质量是保证的。
解前分析：基础题。牵涉到的公式有四个：
(sinx)平方+(cosx)平方=1，
sin2x=2sinxcosx，
cos2x=2(cosx)平方-1。
sin2x+cos2x=
根号2倍的sin(2x+π/4)
解：y=(sinx+cosx)平方+2(cosx)平方
=(sinx)平方+(cosx)平方+2sinxcosx+2(cosx)平方
=(1+2sinxcosx+2(cosx)平方
=(1+sin2x)+(1+cos2x)
=sin2x+cos2x+2
=根号2倍的sin(2x+π/4)+2
①求其递减区间：最后那个加2不用管，那只是表示把函数图像向上平移两个单位而已。
∵函数y=sinx的递减区间为[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]，
∴由2kπ+π/2≤2x+π/4≤2kπ+3π/2得：
2kπ+π/4≤2x≤2kπ+5π/4
∴kπ+π/8≤x≤kπ+5π/8
∴其递减区间为：[kπ+π/8，kπ+5π/8](k属于Z)
②求其最大值和最小值：
由y=根号2倍的sin(2x+π/4)+2以及sin(2x+π/4)属于[-1，1]知：
原函数的最大值为2+根号2，最小值为2-根号2。
解后体会：把用到的公式，随时抄写下来，隔几天看一遍公式，就熟悉公式了。正如一个陌生人，你经常见到他，慢慢就熟识了。奥妙在于经常看一下。
例2：已知函数f（x）=(cosx)四次方-2sinxcosx-(sinx)四次方
①求f（x）的最小正周期，
②当x属于[0，π/2]时，求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合。
解前分析：难度不大，建立自信！原式的两头结合，就是平方差。
公式有四个：
(sinx)平方+(cosx)平方=1，
(cosx)平方-(sinx)平方=cos(2x)，
cos(2x)-sin(2x)=根号2倍的cos(2x+π/4)
sin2x=2sinxcosx。
解：f(x)=(cosx)四次方-2sinxcosx-(sinx)四次方
=(cosx)四次方-(sinx)四次方-2sinxcosx
=[(cosx)平方+(sinx)平方]×[(cosx)平方-(sinx)平方]--sin2x
=1×[(cosx)平方-(sinx)平方]--sin2x
=cos(2x)--sin(2x)
=根号2倍的cos(2x+π/4)
①函数f(x)的最小正周期为：T=2π/2=π
②∵已知x属于[0，π/2]
∴2x属于[0，π]。
∴2x+π/4∈[π/4，5π/4]
∴当且仅当2x+π/4=π时，
函数f(x)=根号2倍的cos(2x+π/4)能取到最小值。
由2x+π/4=π得x=3π/8。此时cos(2x+π/4)=-1。
∴函数有最小值负根号2，取得最小值时x的集合是｛x
x=3π/8｝
解后体会两点：逐步熟悉公式；本题关键是降次、熟悉图像单调性。
例3：已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)
①求f(x)的最小正周期和最大值,
②画出函数y=f(x)在区间[-π/2，π/2]上的图像。
解前分析：难度很小。用到的公式有三个：
2(sinx)平方=1--cos2x，
sin2x=2sinxcosx，
sin2x--cos2x=根号2倍的sin(2x-π/4)。
解：f(x)=2sinx(sinx+cosx)
=2(sinx)平方+2sinxcosx
=(1-cos2x)+sin2x
=(sin2x-cos2x)+1
=根号2倍的sin(2x-π/4)+1
函数f(x)的最小正周期为：T=2π/2=π，
函数的最大值为：1+根号2。
②图略。
解后体会：平时多做基础题。经常看做过的错题。
例4：已知函数f(x)=sin(x+π/6)+sin(x-π/6）+cosx+a的最大值为1，
x属于[-π/2，π/2]。
①求常数a的值,
②求使f(x)≥0成立的x的取值集合。
解前分析：含有可恶的参数，难度加大。沉下心！注意观察、体会下面解中的变形。
解：f(x)=sin(x+π/6)+sin(x-π/6）+cosx+a
=(sinxcosπ/6+cosxsinπ/6)+(sinxcosπ/6--cosxsinπ/6)+cosx+a
=2sinxcosπ/6+cosx+a
=根号3倍的sinx+cosx+a
=2sin(x+π/6)+a
①已经求得f(x)=2sin(x+π/6)+a，
∴当且仅当x+π/6=π/2时，此时x=π/3属于[--π/2，π/2]。
f(x)的最大值为：2sin(π/2)+a=2+a
∴由2+a=1
得a=-1。
②∵f(x)≥0
∴2sin(x+π/6)--1≥0
∴sin(x+π/6)≥1/2
∴2kπ+π/6≤(x+π/6)≤2kπ+5π/6
∴2kπ≤x≤2kπ+2π/3。
∴使f(x)≥0成立的x的取值集合为：
{x
2kπ≤x≤2kπ+2π/3，k属于Z}
解后体会：熟悉公式变形；熟悉结合图像分析；克服惧怕烦躁心里。
例5：已知f(x)=2a(cosx)平方+bsinxcosx-(根号3/2)，f(0)=根号3/2，f(π/4)=1/2，
求最小正周期和单减区间。
解：本题用到的公式：
cos2x=2(cosx)平方-1,
sin2x=2sinxcosx。
∵cos2x=2(cosx)平方-1,
∴2(cosx)平方=1+cos2x
∴2a(cosx)平方=a(1+cos2x)
∵sin2x=2sinxcosx
∴sinxcosx=(1/2)sin2x
∴bsinxcosx=(b/2)sin2x
∴f(x)=a(1+cos2x)+(b/2)sin2x-(√3/2)
=a+acos2x+(b/2)sin2x-(根号3/2)
∵f(0)=根号3/2，而cos0=1，sin0=0，
∴a+acos0+(b/2)sin0-根号3/2=根号3/2
∴2a-根号3/2=根号3/2
∴a=根号3/2。
∵f(π/4)=1/2，而cos(π/2)=0，sin(π/2)=1,
∴a+acos(π/2)+(b/2)sin(π/2)-(根号3/2)=1/2
∴a+(b/2)-(根号3/2)=1/2
∴b/2=(1/2)+(根号3/2)-a
=(1/2)+(根号3/2)-(根号3/2)
=1/2
∴f(x)=2a(cosx)平方+bsinxcosx-(根号3/2)，
=a+acos2x+(b/2)sin2x-(根号3/2)
=(根号3/2)+(根号3/2)cos2x+(1/2)sin2x-(根号3/2)
=(根号3/2)cos2x+(1/2)sin2x
=sin[(2x+(π/3)]
∴最小正周期T=2π/2=π。
下面求其单调递减区间：
正弦函数f(x)=sinx的单调递减区间为：
2kπ+(π/2)≤x≤2kπ+(3π/2)
结合本题，则有：
2kπ+(π/2)≤[(2x+(π/3)]≤2kπ+(3π/2)
∴2kπ+(π/2-(π/3)≤2x≤2kπ+(3π/2)-(π/3)
∴2kπ+(π/6)≤2x≤2kπ+(7π/6)
∴kπ+(π/12)≤x≤kπ+(7π/12).
∴其单调递减区间为：
kπ+(π/12)≤x≤kπ+(7π/12)(k属于Z）.
三角函数的学习，重在悟。悟公式变形，悟如何打开思路。
如果您喜欢的话可以点赞＋