解题思路2“寻找周期和规律性”
无论是往大的方向也好，往小的方向也罢，数字都可以无限延伸下去。那么怎样处理这些无限延伸的数字呢？
我给大家一个启发，那就是，看看这些数字有没有什么“周期和规律性”。在上一章节我们说到“降低次方和次元”，这是“由大到小”的思路；在这一章节，我们要“找出周期和规律性”，这是“由小到大”的思路……我来举一个具体的例子：
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11
我们把0～11的数字罗列出来。再随便除以一个数字，比如3：
可以看出，余数在“0，1，2”之间循环。像这种在一定的间隔内会产生同样数值的现象，就是周期和规律性。通过寻找周期和规律性，我们可以从无限延伸的数字当中找出相关的线索。就像上面举的这个例子，通过除以3得出的余数，我们可以将所有的数字都归纳成：
3n，3n+1，3n+2
不管哪个数字，都可以归纳到这三类当中，比如说，，，就分别是：
=3×
=3×+1
=3×+2
当然了，如果是除以2的话，那么所有的数字就可以分成奇数和偶数两类。
除以3除了可以把数字分成三类以外，所得出的余数是按照非常规则的“0，1，2”的顺序循环的。也就是说，如果先得出一个余数是1，然后又得出一个余数是2，那么第三个数就能够被3整除。大家可能会觉得“这是理所当然的事情”。其实这就是在整数论当中一开始所学到的基础知识“同余方程式”。
当我们遇到无限延伸或者非常庞大的数字的时候，首先找找看这当中有没有什么周期性和规律性，这种思路，用在数学学习上很有效果。
找不着日历也没关系
我们举一个身边的例子。比如说，某一年的3月1日是星期四。那么，同一年的3月30日是星期几？
星期是按照的规律7天一个循环的：
一、二、三、四、五、六、日……
所以说，这一天是星期几，7天之后同样也是星期几。而3月30日是在3月1日的29天之后：
29÷7=4……1
用29除以7，可以得出余数为1。而3月1日那一天是星期四，那么，3月30日就是星期四的后一天，也就是星期五。
因为星期是7天一个循环的，所以哪怕是年以前，0年以前，我们都可以算出那一天是星期几。这也是在寻找周期和规律性的过程当中得到的乐趣。
现在，请大家看一下下面这个趣味问答。
因为A君知道，每一年的3月1日到3月30日，与11月1日到11月30日，在星期上面是完全相同的。同样，4月1日到4月30日，与7月1日到7月30日，在星期上面也是完全相同的（31日除外）。
我想肯定有人会感到惊讶。这到底是怎么一回事呀？
每一年过了3月之后，在天数上，4月、6月、9月、11月都是30天，而其他的月份都是31天。我们把3月到10月的天数相加，得出：
31+30+31+30+31+31+30+31=
÷7=35
我们用除以一周的天数7天，就可以得出，3月1日～3月30日，与11月1日～11月30日，在星期上面是完全相同的。
同样，把4月到6月的天数相加，得出：
30+31+30=91
91÷7=13
就可以得出，4月1日到4月30日，与7月1日到7月30日，在星期上面也是完全相同的。大家不妨翻出日历确认一下。
同余式
之前，我跟大家说了，“拿任何数除以3，根据得出的余数，我们可以将这些数字分成三类，这就是其中的周期性和规律性”，我一开始知道这个规律的时候相当兴奋。然而，同样为此兴奋的人不止我一个，还有德国的数学家高斯。19世纪初，高斯曾经做过一个实验，“假使给定一个正整数n，然后用所有的整数除以n，最后根据所得的余数对这些整数进行分类”，由此，高斯提出了“同余式”的理论。
严格来说，同余式并不在高中数学的教学范围之内，有很多人对此并不熟悉。实际上，当遇到关于整数的问题的时候，同余式是一种很好的解题方法和技巧。此外，通过同余式，我们还能体会到整数的周期性和规律性，我觉得这很有意义。因此，我想给大家稍微详细的介绍一下。
请看下面的图示。
沿着这个圆圈，按照0，1，2，3……的顺序写下去，那么，余数相同的数字就会被归为一类。统称：
“这些整数对模3同余”
比如说：
4≡1（mod3）
写成这个样子的算式，就是同余式。在这里，mod表示除数（模）。
一般来说，当“m÷n=q……r”的时候，我们把
n（除数）称之为“模（modulus）”
q（答案）称之为“商（quotient）”
r（余数）称之为“剩余（residue）”
我们来归纳一下。
当a除以m所得余数，和b除以m所得余数相同的时候，就将它写成：
a≡b（modm）
称为整数a,b对模m同余。而上面的这个算式就是同余式。
例）
3≡1（mod2）
27≡2（mod5）
35≡（mod7）
同余式可以相加减。比如说，当除以7的时候，10和17的余数为3，9和16的余数为2，所以将它们写成：
10≡17（mod7）
9≡16（mod7）
将10+9和17+16分别再除以7，得出的余数都是3+2（5）。由此我们可以看出，即使二者相加，再除以7，余数果然还是相同的。也就是说：
10+9≡17+16（mod7）
不光是相加，相减，或者相乘（乘方），同余式依然成立。由此我们可以总结出，同余式的如下性质。
通过①～④，我们可以得知：
同余式和其他的等式一样，可以进行加法、减法、乘法（乘方）的运算。
（同余式的除法运算需要某些必要条件。这个稍微有些复杂，在这里就省略了。）
我们同余式的性质用图来表示。
整数a,b对模m同余，余数为r
整数c,d对模m同余，余数为s
这样一来：
也许有人看了图会质疑：“恐怕并非如此吧？”为此，我们来验证一下（顺便说明，今后，在本书当中，凡是给出的未知数字母都代表整数）。
在验算之前，首先说明一下，在算术当中，除法运算的写法如下：
15÷7=2……1 （15÷7的商为2，余数为1）
而在数学当中，则这样表示：
15=7×2+1
归纳起来的话，就是：
在数学当中，当a÷m=p……r（a÷m的商为p，余数为r）的时候，我们将它表示为：
a=mp+r
之前出现了一大堆字母，也许你都看晕了。那么后面两页跳过去也没有关系。但是，当你读完这本书，适应了字母数字式之后，一定要再翻到这一页，把没看的给补上。对于方程式的转换和变形，我都尽可能的详细描述，你一定能够看得懂！
当a≡b（modm）的时候，a和b分别除以m，所得余数都是相同的，假设这个余数为r，那么：
a=mp+r
b=mp’+r
（p和p’分别是a÷m和b÷m的商。）
同样，当c≡d（modm）的时候，c和d分别除以m，所得余数都为s，那么：
c=mq+s
d=mq’+s
（q和q’分别是c÷m的商，和d÷m的商。）
我们来算一下a+c：
a+c=（mp+r）+（mq+s）
=m（p+q）+r+s
也就是说，a+c除以m，得出的余数为r+S（严格来说，当r+s大于m的时候，余数为r+s-m）。
同样，我们来算一下b+d：
b+d=（mp’+r）+（mq’+s）
=m（p’+q’）+r+s
也就是说，b+d除以m，得出的余数为r+S（严格来说，当r+s大于m的时候，余数为r+s-m）。
根据上面的运算，我们可以看出，a+c除以m和b+d除以m，所得余数相同，我们可以写成：
a+c≡b+d（modm）
至此，我们就完成了对同余式性质①的验证！
接下来是同余式性质②，还是同样的验算方法：
a-c=（mp+r）-（mq+s）
=m（p-q）+r-s
b-d=（mp’+r）-（mq’+s）
=m（p’-q’）+r-s
也就是说，a-c除以m和b-d除以m，所得余数相同，我们可以将它表示为：
a-c≡b-d（modm）
然后就是对同余式性质③的验证，这个比之前的验算要麻烦一些：
ac=（mp+r）（mq+s）
=m2pq+mps+mrq+rs
=m（mpq+ps+rq）+rs
bd=（mp’+r）（mq’+s）
=m2p’q’+mp’s+mrq’+rs
=m（p’q’+p’s+rq’）+rs
由此我们得出，ac除以m和bd除以m，所得余数相同，我们将它表示为：
ac≡bd（modm）
最后在同余式性质④的验证过程当中，我们要运用到同余式性质③的公式：
a≡b（modm），c≡d（modm）→ac=bd（modm）
由此：
a≡b（modm）→a2≡b2（modm）→a3≡b3（modm）……→an≡bn（modm）
就可以表示为：
a≡b（modm）→an≡bn（modm）
至此，对同余式性质①～④的验证就算完成了！
像这样庞大的数字，用常规方法是没法计算的。但是，我们可以运用同余式的性质来解决这个问题。我们知道，13除以12的余数为1，而1除以12的余数也为1。那么，我们可以将它表示为：
13≡1（mod12）
我们根据同余式的性质④，很快就能够得出：
≡≡1（mod12）
由此，我们可以得出，除以12，所得余数为1。
在高中数学当中，涉及到周期和规律性的地方，除了数列之外，还有三角函数和n次方导数。
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