前言：本文适合对傅里叶变换有过学习，但未能理清其复杂关系的同学阅读，若是初学者可能看着有些不知所云。
1、主旨思想：
任意周期函数均可以由正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，因为正弦函数和余弦函数是正交的，可以将其看作一组基，而傅里叶采用了[1,cosx,sinx,cos(2x),sin(2x)...][1,cosx,sinx,cos(2x),sin(2x)...][1,cosx,sinx,cos(2x),sin(2x)...][1,cosx,sinx,cos(2x),sin(2x)...]作为正交基，用这组正交基的线性组合来表示任意函数（或者信号）。
2、从级数开始
（1）傅里叶级数：周期信号可以分解为各次谐波频率分量的叠加，而c(n)、F(nw0)反映了不同谐波分量的幅值，φn反映了不同谐波分量的相位。而频率--幅度和频率--相位的关系合称为信号频谱。
（2）从频谱关系上看，指数傅里叶级数其实是三角傅里叶级数的对称翻转，因此，在指数傅里叶级数中，其对应分量的幅值是三角傅里叶级数的一半，在零频率处的幅值是一样的。若信号为实信号，则其相位是奇函数。
（3）疑问：为什么频域会存在连续的情况？频域中最重要的一方面就是频率-幅度的关系，时域信号中每一个谐波分量就会在频域中有一个对应的频率-幅度关系，如果按照这个理解，频域应,该一直都是离散的才对，但是实际理论中有着频域连续的说法。
解释：频谱图是离散的，这一点首先是正确的。对于一个周期信号来说，假设它的周期为T,那么在频域中，其频率间隔w=（2*π）/T。对于周期信号来说，T必然是一个有限值，因此无论T取何值，w必然大于0，所以频域上点和点之间永远相差一个w。但是对于一个非周期信号来说，它的T可以看作是正无穷,因此，在这种情况下w=0,所以时域非周期频域连续。
3、关于功率信号和能量信号
（1）一般的周期信号和随机信号是功率有限信号，能量有限信号一定是非周期的
（2）能量：该信号在全部时间内的总能量。功率：能量的平均
(3)将指数傅里叶级数带入到功率P的式中得到，帕斯瓦尔功率（能量）守恒定律
可见周期信号的能量和平均功率不仅在时域总可以求取，也可以在频域中确定。而
Fn
^2关于nw0的分布情况就称之为周期信号的功率频谱，简称频率谱。
(4)很重要的应用：可以使用功率谱求出需要用几个谐波分量来近似拟合出该周期信号。有限很重要，这样才能有效的计算多少次谐波可以占据绝大部分的功率，若是无限功率，则无法计算。
4、正式开始傅里叶变换
（1）连续时间傅里叶变换FT：连续周期/非周期----周期离散/连续
1）傅里叶变换公式
2）傅里叶级数系数Fn与频谱函数F(jw)的关系：
指的是周期信号傅里叶级数的系数Fn等于该信号的一个周期的傅里叶变换在w=nw0处的值乘以1/T。
（2）时域离散傅里叶变换DTFT：离散周期----周期离散
1）公式
2）与模拟信号建立关系：
时域抽样：
做FT：根据卷积性质
其中，ws=2*π/T。jΩ就是连续时间傅里叶变换中的jw。（从模拟信号的角度出发）
ps：可以看到，对一个是与连续信号以周期Ts采样后，频谱是原频谱以2*π/Ts为周期的周期延拓，同时前面多了一个系数1/Ts，这意味着采样频率越高，其系数越大。
（3）周期序列的傅里叶级数DFS：
1）符号说明：
k:表示谐波分量的阶数，例如，k=0，表示是直流分量，k=1表示是基波分量，以此类推。
N：可以理解为对连续信号的采样频率，一个以N为周期，意味着一个周期内有N个点，即采样频率为N
2）时域：一个以N为周期的序列，展开为傅里叶级数：
其只有N次谐波分量。ps：语言描述为，在第n个点处的信号，等于所有谐波分量在该点处的叠加。
3）频域：周期序列的傅里叶级数：
ps:该傅里叶级数表示：第k次谐波在所有点上的傅里叶变换之和。
4）周期序列傅里叶表达式：
表示第k次谐波以2*π/N为间隔进行搬移，而将所有谐波的级数进行搬移求和，极为其傅里叶变换（表示出了频域上所有的频率--幅值关系）
该信号是以一个周期N点采样的
（4）不同频率之间的关系：
1）
2）两个式子
以上两个式子都是离散时间序列的傅里叶变换，只不过推导的出发点不太一样。式子是标准的公式，而式二是与模拟信号建立联系推导来的，即将理想采样信号（2-5）带入到（2-3）中.由此我们得到：
从这里看到，数字频率是（模拟角频率）模拟频率对采样频率的归一化。将其带入到式子（1）中，由此得到了式子（2-6）的推导。
3)模拟信号一定是连续信号，连续信号不一定是模拟信号。
4)数字频率是相对于采样频率的，在已知信号频率时，要确定了采样频率才会有数字频率，否则数字频率没有任何意义。
(5)离散傅里叶变换DFT：离散---离散有限---有限
1）公式：
2）Z变换
3）X（k）与X（z）的关系
实质是对有限长序列的傅里叶变换（频谱\拉普拉斯变换）有限点采样而实现频域离散化
序列的N点DFT是对序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样
X(k)为序列的傅里叶变换在区间[0,2Π]上的等间隔采样