函数的周期性和对称性在高中教材函数概念和性质的章节中有所弱化，在三角函数的板块是一个重点学习的知识点，但是考试对于函数周期性和对称性的考查已经延伸到了抽象函数周期性和对称性的考查，在全国卷及各地的地方卷中都有出现，因此高中学生必须掌握。
本文通过例题和相关练习具体讲解抽象函数的周期性和对称性的4种常见题型。
一、函数的周期性
若对于定义域内任意的x，都存在一个常数T，使得f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期。周期函数的一些常见形式和结论我们将在例题中进行总结，在此就不赘述了。
二、函数的对称性
若对于定义域内任意的x都有f(a+x)=f(a-x)，则f(x)的图像关于直线x=a对称；
若对于定义域内任意的x都有f(x)+f(2a-x)=2b，则f(x)的图像关于点（a，b）对称。
周期性与对称性的关系也将在例题中进行详细总结。
三、典型例题及变式训练
题型一、抽象函数的周期性
总结与反思：如果不知道函数解析式，只知道一个恒等关系式，要求一个自变量很大的函数值，通常就需要通过这个恒等关系式找出函数的周期，然后化为自变量较小的一个函数值的求解。所以本题中找出函数的周期是关键。
找函数周期最常用的方法就是通过恒等关系式依次计算一系列的函数值，然后再观察计算出的函数值找出周期，这种方法简单，但是计算量很大。如解法一。
另外一种方法就是直接对恒等关系式进行变形，这样可以减少计算，但是需要掌握变形技巧。如解法二。
下面总结了几种周期为2a的函数关系式，帮助理解和提高解题速度。