f(x)=1(当x为有理数)，f(x)=0(当x为无理数)。
1.狄利克雷函数是一个以任何正有理数为周期的周期函数，当x为有理数时，x+T是无理数，所以有D(x+T)=0而D(x)=1当x为无理数时，x+T不确定，所以有D(x+T)=0或1而D(x)=0，所以任意无理数不是D(x)的周期。
2.狄利克雷函数是一个以任何正有理数为周期的周期函数，若存在T0使得f(x+T)=f(x),则f(x)为周期函数，不要求有最小周期，如果x是无理数，则x+T也是有理数，所以f(x+T)=0=f(x)。
3.任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数fx的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期，处处不连续和处处不可导就需要按照定理去推导，任取一点X，总是可以找到一个无理数列和有理数列去逼近它，这样得出来的两个极限值无论是连续还是导函数肯定不等。